[22' 전람회] 충북과학전람회 (2) - 줄다리기를 역학적으로 알아보자

1. 이론적 배경

(1) 힘의 평형 및 돌림힘 평형

1) 줄다리기 상황에서의 힘의 평형

 

 줄다리기 상황에서 힘의 평형은 위와 같다. 양 팀의 사람 모두와 줄을 하나의 계로 보면 계 외부에서 작용하는 수평 방향의 외력은 마찰력 뿐이다. 즉 마찰력을 누가 크게 하느냐가 게임의 승부를 결정한다고 할 수 있다.

 

2) 줄다리기 상황에서의 돌림힘의 평형

가장 먼저 줄다리기를 하는 상황에서 고려해야 할 물리적 요소에 대한 자유물체도를 나타내었다.

 

 사람이 허리와 무릎을 곧게 펴고 몸의 각도와 중력만을 이용해 줄을 당기고 있는 모습을 사람이라는 계를 잡아 그에 작용하는 힘을 나타낸 자유물체도이다. 위 그림과 같이, 아래에서부터 지면이 사람의 발(받침점)에 작용하는 수직항력을 N, 마찰력을 f 라고 하고 지구가 사람 무게중심에 작용하는 중력을 mg, 줄이 사람 손(작용점)에 작용하는 장력을 T라고 한다. 또한 받침점으로부터 줄의 작용점까지의 거리를 L, 받침점으로부터 무게중심까지의 거리를 l이라 하면 힘의 평형과 돌림힘의 평형을 고려하였을 때, 다음의 관계가 성립한다.

 

x방향 힘의 평형($\Sigma \vec{F_x} = 0$): $T-f=0$,   $\therefore T=f$ ------①

y방향 힘의 평형($\Sigma \vec{F_y} = 0$): $N-mg=0$,   $\therefore N=mg$ ------②

돌림힘의 평형($\Sigma \vec{\tau_{ext}} = 0$): $(\vec{l} \times m \vec{g})-(\vec{L} \times \vec{T})=0$,  $\therefore TL\sin \theta = mgl\cos \theta$ ------③

최대 정지 마찰력: $F \leq \mu N$ ------④

 

③에서 $\tan \theta$에 대해서 정리하면 $\tan \theta = {{mgl} \over {TL}}$이고, ①과 ②를 대입하면, $\tan \theta = {{N} \over {f}} \times {{l} \over {L}}$ 이다. 최종적으로 ④식을 변형한 ${{N} \over {f}} \geq {{1} \over {\mu}}$를 대입하면, $\tan \theta \geq {{l} \over {\mu L}}$이라는 식이 나온다.

따라서 최대 마찰력이 작용하는 순간은 $\tan \theta = {{l} \over {\mu L}}$일 때이다.

 

즉, 줄다리기에서 평형을 유지하면서 가장 큰 마찰력을 만들어 내는 방법은 이 각도($\theta = \tan^{-1} {{l} \over {\mu L}}$)을 유지하면서 버티는 것이다. 줄다리기 과정에서 바닥과 예각을 이루며 당긴다는 가정 하에 위 각도($\theta$)보다 커지면 ③에서 시계방향 돌림힘이 커지면서 몸이 들리면서 끌려가며, 그 반대의 경우는 반시계 방향 돌림힘이 커져서 마찰력이 작아져서 미끄러진다.

 

양쪽에 작용하는 장력은 작용 반작용에 의해서 같고, 중력, 수직항력 등은 합성을 통해 상쇄되기 때문에 줄다리기는 마찰력 싸움이 된다.

 

2. 선행 연구 조사

 - Ken Zetie (2013). Forces Tug of war. BSB

내용 요약	본 탐구와 다른 점
줄다리기는 누가 이기는가에 대한 질문을 중심으로 내용을 전개함.	줄다리기에 대해 궁금한 질문들에 대해 나열하는 과정은 있지만, 이를 검증하는 것은 경사면에서의 줄다리기에 국한됨.

 

 -  Kaveh, A. (2016). Tug of War Optimization. 
Advances in Metaheuristic Algorithms for Optimal Design of Structures, 451-487.

내용 요약	본 탐구와 다른 점
줄다리기에 대해 수식적으로 설명하였음. 표와 그림들을 이용하여 정량적인 값을 도출하였음	줄다리기에 대해 산술적인 값들과 그래프가 내용을 중심적으로 이루지만 본 탐구는 줄다리기에 대한 속설을 검증하는데 의의가 있음.

 

정적인 상황에서 줄다리기에 대한 분석과 승리 전략은 이미 있었으나,

동적인 상황에서의 줄다리기에 대한 분석과 승리 전략에 관한 연구는 없었다.

 

따라서 연구 필요성을 느꼈다. 

 

3. 동적인 줄다리기 상황에 대한 분석

(1) 민간 속설에 대한 역학적 검토

민간에 떠도는 여러 가지 속설 중 몇 가지를 선정하여 물리학적으로 타당한가에 대해서 검증하며, 미처 생각하지 못한 요인과 차용할 수 있는 아이디어에 대해서 검토하였다.

 - 몸이 선 채로 40도 정도의 기울기를 유지하는 것이 좋다.

 > 무조건 기울기 40도가 아닌 맞는 기울기이며 허리가 펴진 상태여야 한다.

 

몸을 눕히는 행동은 돌림힘의 측면에서 유리해지도록 한다. 지레의 팔 부분(r) 값을 작게 하여 큰 힘에 대한 돌림힘을 작게 한다. 몸을 눕힐수록 해당 효과는 증가한다. 하지만 몸을 눕히게 되면, 지면에 대한 수직항력($mg \cos \theta$)이 줄어들어 마찰력이 줄어든다. 때문에 돌림힘과 마찰력이 적절하게 분배되어 가장 안정적인 각도가 존재한다. 해당 값은 앞서 도출한 식 $\tan \theta = {{r} \over {\mu L}}$ 이나 선행연구(전람회)를 통해 알 수 있다. 따라서 해당 속설은 타당하다.

 

 

 - 시작하자마자 당기는 것이 아닌 버티다가 일제 구령에 따라 힘을 쓰는 것이 좋다.

 > 초반부터 구호를 통해 당기면 힘이 셀 경우 따라오겠지만, 이는 힘을 모아서 쓰는 것이 아니기 때문에 비효율적일 수 있다.

 

우선 해당 속설은 일반적인 아마추어 경기이므로, 최적의 각도와 어느 정도 정비를 위한 시간을 벌기 위해 하는 요소로 판단된다. 그리고 이후 일제 구령을 맞추기 위한 부분이기도 한 것으로 판단된다. 그렇다면 어째서 버티는 것이 정비할 수 있는 시간을 벌어 줄 수 있는 것일까? 앞서 설명한 것에 따라 최대 마찰력과 최대 장력을 낼 수 있는 최적의 각도와 자세가 존재한다. 해당 자세를 유지하고 있는 상황에서 똑같이 최대 마찰력을 유지하는 상대방을 끌어오려면 추가적인 힘을 내야 한다. 체력적인 면모에서 본다면, 더 큰 힘을 유지하는 것이 훨씬 힘들다는 것을 알 수 있다. 체력이 다 하기 전에 상대를 끌어올 수 없다면, 질 가능성이 커지기 때문에 우선 버티며 자세와 전력 정비와 상대의 전략 파악을 하는 편이 더 안정성이 크다고 할 수 있다. 따라서 해당 속설은 타당하다고 할 수 있다.

 

 - 키와 체중이 많이 나가는 순서대로 앞에서부터 세워라.

 > 줄의 각도와 높이는 일정해야 힘의 전달이 원할하게 이루어질 수 있다. 또한 줄의 뒤로 갈수록 힘의 전달되는 비율이 떨어지기 때문에 힘을 많이 쓰는 사람부터 앞에 세우는 것이 낫다.

 

일반적으로 생각하기에 줄에 대한 장력에 대해 앞에서부터 힘을 반대 방향으로 주며 뒷사람에게 작용하는 장력(알짜 힘)이 줄어들어 뒤로 갈수록 편해진다고 생각하기 쉽다. 하지만 자유물체도 (아래 그림)을 그려 파악하면 초기 장력 $T_{0}$ 에 비하여 뒷사람에게 작용하는 $T_1$이 앞사람의 마찰력 $f_1$ 에 의해 더 작아지는 것은 맞다. 그러나 뒤에 선수들에 대한 자유물체도를 그리다 보면, 선수가 작용하는 마찰력은 앞뒤 장력 차($\Delta T$)이라는 것을 알 수 있다. 결국 선수들의 마찰력 합이 장력 $T_0$과 같아야 하므로, 배치에 따른 차이가 있다는 것은 물리학적으로 타당하지 않다. 앞사람에 대한 심리적 요인, 맨 뒤 선수의 자유도, 키 차이에 의한 줄의 높낮이 등 다른 요인들이 작용했을 것이다.

 

 

 - 운동장의 기울기가 낮은 곳을 선택하라.

 > 기울기는 승부에 분명히 영향을 미친다.

 

기울기가 있는 공간에서 아래쪽에 위치하여 줄다리기를 진행하면, $mg \sin \theta$의 힘이 끌어오는데 도움을 주기 때문에 당연히 유리해진다. 그런데 운동장의 기울기가 아무리 차이가 난다고 해도, 기껏해야 5~7도정도 차이가 날 것이다. 해당 기울기 차이가 주는 영향은 매우 미미해 보인다. 하지만 줄다리기에서는 엄청난 힘으로 끌어가는 것처럼 보이지만, 실제로 힘의 차이에 의하기 때문에 그렇게 크지만은 않는다. 양 팀 선수의 질량을 640kg정도라고 생각하고 서로 당기는 힘이 10000N정도라고 하면, 양 팀의 힘의 차가 20%가 난다고 해도 실제 힘의 차이는 2000N 정도이다. 그렇다면 기울기가 미미한 값이라도 경기결과에 꽤나 큰 영향을 줄 수 있다. 따라서 해당 속설은 타당하다.

 

 

 - 자신쪽의 땅을 파고 진행한다.

 > 운동장은 주로 모래가 많은데, 힘을 주어 당기다 보면 모래 때문에 지지력이 떨어져 힘을 쓰지 못하는 경우도 많다. 따라서 지지력을 높이기 위해 모래를 제거해야 하고, 그 이유로 바닥의 모래를 밀어내고 맨땅이 나오게 하는 작업은 지지력을 높이게 된다.

 

줄다리기는 작용 반작용으로 인해 양 팀에 작용하는 힘은 같은 상황이므로, 결국은 마찰력 싸움이다. 즉, 마찰력을 크게 하는 것이 곧 승리와 직결된다고 할 수 있다. 마찰력에 영향을 주는 요인은 마찰계수와, 수직항력뿐이다. 해당 속설은 신발바닥과 바닥면과의 마찰계수를 크게 하는 요인이므로, 타당하다고 할 수 있다.

 

(2) 줄다리기 선수 영상 분석

[링크1] [링크2] 

1) 양 팀이 최적의 각도를 유지하며 평행을 유지

이론적 배경과 같이 양 팀에서 최적의 장력을 만들기 위해서 최적의 각도를 유지하고 있다.

이러한 경우에는 몇 분동안 평형을 유지하는 모습을 보인다.

 

2) 파란 팀이 끌려가는 상황에서 주춤주춤 발을 내딛기

서로 평형을 이루던 상황에서 한 팀이 안정을 잃자, 상대가 뒤로 끌려가기 시작했다.

이때, 몸의 각도가 커진 파란 팀은 주춤주춤 앞으로 발을 내딛어서 다시 최적의 각도를 맞추어 평형을 이루었다.

 

이 분석을 통해 가장 기초적인 전략은 최적의 각도를 이루어 장력을 크게 하는 것임을 분석할 수 있었다.

 

3) 평형을 깨고 끌어당기기 전략

최적의 각도로 평형을 유지만 한다면 줄다리기를 이길 수 없다.

그래서 서로 최적인 상태의 평형을 깨고 상대를 끌어올 더 큰 힘을 얻어야 한다. 하지만 이미 최대 정지 마찰력에 해당하는 크기의 장력이 작용하는 상황이므로 단순히 줄을 더 세게 당기는 행동은 마찰력이 최대 정지 마찰력을 초과하는 상황을 만들어 반작용에 의해서 오히려 자신이 끌려가게 된다.

즉, 상대방을 끌어오려면 자신의 최대 정지 마찰력을 키워야 하며, $f= \mu N$이라는 식에서 마찰계수는 고정되어 있는 상황이므로 N, 수직항력을 키워야 한다.

 

여러 영상 중 훈련 영상에서 그 답을 찾을 수 있었다. 엉덩이를 순간적으로 내렸다가 올리는 반동을 주어 수직항력을 늘리는 방법을 통해 상대를 끌어오는 훈련영상을 찾게 된 것이다. 이를 통해 최대 정지 마찰력을 높여 자신은 끌려가지 않을 수 있는 상태에서 몸의 각도를 더 눕혀 수평 방향의 힘을 더욱 크게 만들어 상대를 끌어올 수 있는 것이다.

 

그러나 이 반동을 주는 행위가 무조건 이득인 것은 아니다. 반동을 주기 위해서 무게중심을 올린다는 행위는, 무게중심을 계속 낮춰야 한다는 것이다. 이는 무게 중심이 자유 낙하하는 상황과 비슷하고, 이때 수직항력이 작아지기 때문에 마찰력이 줄어들어 가만히 각도를 유지하는 상대방에게 끌려갈 수도 있다. 따라서 이렇게 이득과 손해가 공존하는 상황을 제대로 이해하고 어떠한 메커니즘에 의해서 반동을 주었을 때 상대를 끌고 올 수 있는지에 대해서 고민과 토의를 진행하게 되었다.

 

4. 실제 줄다리기의 정량적 분석

앞에서의 반동의 손해와 이익에 대해서 실제 줄다리기를 진행하여, 2축 힘 센서를 통한 정량적인 데이터를 수집해 보았다.

위의 사진과 같이 큰 마찰 계수를 위해서 바닥에 고무패드를 깔고, 기둥에 줄을 묶어 줄다리기 환경을 조성해 주었다.

 

2축 힘 센서와 연동되는 애플리케이션을 통해 지표면에 대한 수직력과 수평력을 측정하여 csv 파일과 그래프를 얻을 수 있었다. 또한 데이터 수집과 영상 촬영을 진행하여 무게 중심에 대략적으로 해당하는 질점을 잡아 트래킹을 거쳐 무게중심의 이동과 연결하여 분석을 진행해 보았다.

 

(1) 줄다리기 상황에서 수직력과 수평력에 대한 탐구

 가장 먼저 지표면에 90도로 서있는 상태에서 서서히 θ값을 줄여가며 수직항력과 수평력에 대해 측정하였다. 각도가 줄어듦에 따라 수평력은 점점 비례하여 커짐을 주황색 그래프를 통해 알 수 있다. 그에 반해 수직항력은 거의 상수함수의 꼴로 유지됨을 알 수 있다. 개인의 근력 및 마찰력이 버티지 못하여 넘어지는 순간 두 물리량이 모두 0으로 가는 것을 볼 수 있다. 이에 각도에 따라 수직항력은 변하지 않고, θ가 줄어들수록 지면에 대한 마찰력이 커지고, 이 크기는 줄의 장력과 같다.

 

 다음으로 지표면에 대해 90도를 유지한 채로 앉았다 일어나며 위아래로 반동을 주며 트래킹을 통한 질점 이동에 대한 그래프와 수직/수평력 그래프을 얻었다. 자세에 따른 수평방향 이동을 제외하고 보면, 무게중심을 올리는 동안 수직항력이 증가하고, 이후 무게중심을 다시 낮추어 수직항력도 기본 값보다도 더 내려감을 확인할 수도 있다. 무게중심에 대한 가속도가 크면 클수록 더 급격한 수직항력의 변화를 관찰할 수 있다.

 

 

그 다음은 각도를 기울이며 수평방향에 대한 반동에 대한 수치를 수집하였다. 자세에 따른 수직방향의 값을 제외하고 보면, 더 누울수록 수평력이 더 큰 값을 가지며 위의 타 그래프보다 더 완만하고 부드러운 그래프의 개형을 나타낸다. 각도를 작게 함으로써 얻는 수평력(마찰력)에 수평방향의 무게중심 이동에 대한 관성력이 더해져 위와 같은 개형을 나타낸다.

 

 

 마지막으로 좌우 및 위아래 반동을 동시에 주는, 실제 줄다리기에서 하는 동작과 비슷하게 반동을 주었다. 이를 통해 얻은 그래프를 분석하여, 다음과 같은 점들을 관찰할 수 있었다. 먼저 반동을 주는 행위를 통해 기본 상태의 수직항력인 약 780N보다 최대 약 1.26배 증가한 약980N까지 증가한 것을 볼 수 있다. 반대로 무게중심이 낙하하는 동안은 최소 약 0.77배인 600N까지 감소하는 것을 발견할 수 있다. 또한 각도를 내려 약 340N의 수평력을 가할 수 있는 각도에서 반동에 따른 수직항력과 비례하여 약 500~190N사이의 값을 가지는 것을 관찰할 수 있었다. 


이를 통해 반동을 주는 행위가 수직항력을 크게 하는 데에 유의미한 영향을 주며 이는 핵심인 마찰력의 한계를 더 크게 할 수 있음을 알 수 있다. 하지만 해당 그래프와 데이터만으로는 손해와 이득이 동시에 존재하는 반동이라는 행위가 어떤 원리를 통해 그 알짜 값을 이득으로 얻는지에 대해서는 명확하게 판단하기 어려웠다. 이에 대해 토의 및 정보 수집을 더 하던 와중, 해병대의 갑판병이 배를 정박하기 위해 줄을 매달아 끌 때 외치는 구호인 ‘핫둘아’에 대해 알게 되었다. 우리가 일반적으로 하는 ‘영차영차’와 ‘하나둘’이 세 가지 구호의 차이가 있는지에 대해 더욱 탐구하고자 하였다. 지도교사 선생님의 경험으로 갑판병과 일반병의 줄다리기가 벌어졌을 때 일반적으로 일반병이 이기는 경우가 많았기에, ‘핫둘아’와‘영차영차’의 차이를 비교대조하는 쪽으로 방향을 설정하였다.

 

 

(2) 줄다리기 상황에서 무게중심 이동에 대한 탐구

 위의 그래프는 일반적인 아마추어 경기에서 자주 채택되는 ‘영차’구호를 외치며 임한 수치이다. 구호에 맞추어 반동을 주는 과정에서 ‘영’음절에 천천히 무게중심을 들어올리며, ‘차’음절에 비교적 빠르게 무게중심을 내리는 것을 분석할 수 있다. 이는 그래프 상에서도 나타나며, 수직/수평력이 커지는 구간은 비교적 완만하게 상승하며 반대로 작아지는 구간이 더 급격하게 변함을 관찰할 수 있다. 아무 행동도 하지 않는 기본값에 대한 상수함수로 직선을 그어 분석하면, 이득을 보는 시간이 손해를 보는 시간에 비해 더 크다는 것을 알 수 있다.

 

 

위의 그래프는 배를 정박하기 위해 갑판병이 줄을 달고 끌 때 채택하는 ‘핫둘아’구호를 외치며 임한 수치이다. ‘핫둘’음절에 자세를 정비하며 무게중심을 천천히 내리고, ‘아’음절에 맞추어 순간적인 무게중심 상승을 통하여 폭발적인 수직/수평력 상승을 이끌어 내었다. 이를 그래프를 통해 보자면 상승하는 부분의 기울기가 하강하는 부분의 기울기에 비해 크며, ‘영차’와 비교하면 전체적인 기울기가 더 더 큰 것을 알 수 있다. 또한 순간 가속도가 크기 때문에‘영차’에 비해서 최대로 낼 수 있는 수직항력이 300N 가량 더 크다는 특징도 있다.(영차max – 약 1000N, 핫둘아max – 약 1300N) 아무 행동도 하지 않는 기본값에 대한 상수함수로 직선을 그어 분석하면, 이득을 보는 시간이 손해를 보는 시간에 비해 더 작다는 것을 알 수 있다.

 

 

위의 그래프는 아마추어 경기에서 종종 채택되는 ‘하나둘’구호를 외치며 임한 수치이다. 앞 선 두 구호의 중간정도로, 무게중심을 올리는 시간, 가속도와 내리는 시간, 가속도가 거의 비슷한 수준이다.(‘하나’음절에 무게중심 상승, ‘둘’음절에 하강) 그래프 상에서도 상승하는 부분과 하강하는 부분의 기울기 차이가 앞의 두 
구호보다 작은 것을 관찰할 수 있다. 최대로 낼 수 있는 수직항력의 크기도 다른 구호의 중간값 정도인 1100N 대 인 것을 확인 할 수 있다.  

 

 

위와 같이 얻은 그래프들을 모아 비교분석한 결과, 다음과 같은 가설을 내리게 되었다.

상대보다 이득인 시간이 상대보다 손해인 시간보다 길게 하여야 반동을 통해 상대를 끌어와 이길 수 있다

물론 각 전략에서 시간 뿐 아니라, 순간적으로 작용하는 힘의 세기 역시 차이를 보여, 순간가속도의 크기 또한 고려해주어야 하지만, 이에 대해 조금 더 생각해 보면, 상대를 이긴다는 것은 상대 및 줄을 포함한 자신의 변위를 만들어야한다. 

 

변위에 대한 아래의 식을 통해 보면,
$$ s = v_0t + {{1} \over {2}}at^2 $$
서로 평형을 이루고 멈추어 있는 상태이므로 는 0이다. 따라서
$$ s = {{1} \over {2}}at^2$$
로 간소화 할 수 있다.

 

영향을 주는 두 물리량의 비례관계에 대하여 가속도는 비례, 시간은 제곱에 비례하므로 가속도의 영향보다 시간에 대한 영향이 더 크게 미칠 것이다.

따라서 이득인 시간을 손해인 시간보다 길게 하여야 반동을 통해 승리 할 수 있다는 결과를 얻을 수 있었다.

하지만 위의 이론적 고찰과 사람을 모델로 얻은 기존 데이터들만으로는 해당 가설을 입증할 타당성이 모자라다고 판단하였다. 특히나 통제하기 어려운 각종 변인이 난무하는 사람이 직접 시행한 데이터의 신뢰도를 온전히 믿기에는 무리가 있다고 생각하였다. 이에 대해 신뢰도가 더 높은 데이터를 제공하는 줄다리기 상황을 가장 간단하게 설명할 수 있는 줄다리기 로봇을 직접 제작하고자 하였다.

 

 

아래 링크는 진행한 파일의 깃헙 링크이다.

https://github.com/MOSW626/Tug_of_War_Robot_Project_-2022-.git

GitHub - MOSW626/Tug_of_War_Robot_Project_-2022-