[22‘ 전람회] 전국과학전람회(5) - 메인 수식이 틀렸다

우리는 지금까지 다음과 같은 수식을 기본으로 해서 반동의 물리적, 수학적 모델을 세워 실험을 진행하고 결론을 도출하고 있었다. 

 

$$ T = m \csc \theta ( b\sec \theta {{d^2 \theta } \over {d t^2}} + 2{{d \theta} \over {dt}} + g \cos \theta )$$

 

하지만 보고서를 제출한 뒤 차트를 만들면서 한번 더 증명을 하는 과정에서 오류가 있음을 알게 되어 메인 수식을 고치게 되었다. 

다행히도 바뀐 수식을 통해서 문제가 크게 혹은 결론이 바뀐 것이 아니라 우리가 구했던 정답에서 조금씩 생긴 오류들이 해결된 것이었기 때문에 오히려 좋은 상황이 되었다.

 

바뀐 수식은 다음과 같다.

$$ \Sigma \tau = {{d} \over {dt}}(I \omega) = I{{d \omega} \over {dt}} + \omega {{dI} \over {dt}}$$

$$ (\Sigma \tau = Tl \sin \theta - mgl \cos \theta , I = ml^2, l \cos \theta = b) $$

$$ T = m \csc \theta (b \sec \theta {{d^2 \theta} \over {d t^2}} + 2b \tan \theta \sec \theta {{d \theta} \over {dt}} + g \cos \theta $$

 

이러한 수식은 다음과 같은 방식으로 유도되었다.

 

먼저, $l = b \sec \theta $ 라고 하였다.

이후 돌림힘 공식에 의해 다음과 같은 수식을 유도할 수 있다.

$Tl \sin \theta - mgl \cos \theta = ml^2 {{d^2 \theta} \over {dt^2}} + 2ml{{d \theta} \over {dt}}b \tan \theta \sec \theta $

$T \sin \theta$ 만 좌변에 남도록 식을 정돈하면 다음과 같이 나온다.

$T \sin \theta  = ml \alpha + 2mb \tan \theta \sec \theta \omega + mg \cos \theta$

즉, $T = m(b \sec \theta \csc \theta + 2b \tan \theta \sec \theta \csc \theta \omega + g \cot \theta) $

이를 정리하면 위와 같이 $T = m \csc \theta (b \sec \theta {{d^2 \theta} \over {d t^2}} + 2b \tan \theta \sec \theta {{d \theta} \over {dt}} + g \cos \theta $가 나오게 된다.